背景

非旋转treap真的好久没有用过了... 左偏树由于之前学的时候没有写学习笔记, 学得也并不牢固. 所以打算写这么一篇学习笔记, 讲讲左偏树和非旋转treap.

左偏树

定义

• 左偏树(Leftist Tree)是一种可并堆(Mergeable Heap), 它除了支持优先队列的三个基本操作(插入，删除，取最小节点), 还支持一个很特殊的操作——合并操作;
• 左偏树是一棵堆有序(Heap Ordered)二叉树;
• 左偏树满足左偏性质(Leftist Property):
  • 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值;
  • 节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离;
  • 节点的左子节点右子节点也是一颗左偏树.

操作

注: 这里的左偏树默认是大根堆.

合并

合并两棵左偏树. 在合并操作中, 假设这两棵treap的根节点分别为u和v.

• 比较这两个根节点的权值, 大的作为当前节点,
• 合并当前节点的右儿子和另一个根节点.
• 比较当前节点的两个儿子, 假如右儿子的距离大于左儿子, 则交换两个儿子节点.

插入

插入一个节点.

把这个节点当成是只有根节点的一棵左偏树, 用合并的方法合并至原树中即可.

时间复杂度及证明

我们发现, 对于一棵点数为\(n\)的左偏树, 其最右链的长度不超过\(\log n\)(这里的证明我不太会, 就稍微意会一下吧), 因此合并两棵大小为\(n\)的左偏树的时间复杂度为\(O(\log n)\). 我们考虑开始时每棵左偏树都只有一个节点, 则从初始状态合并至所有节点都在一棵树上的时间复杂度为\[O\left(\frac{n}{2^1} \log 2^0 + \frac{n}{2^2} \log 2^1 + \frac{n}{2^3} \log 2^2 + ... + \frac{n}{2^{k + 1}} \log 2^k \right) = O\left(\frac{n}{2} \log n\right) = O(n \log n)\]

代码

直接看Monkey King的代码就可以了吧.

#include 
    
     #include 
     
      #include 
      
       #include 
       
        #include 
        
         const int N = (int)1e5;namespace Zeonfai{    inline int getInt()    {        int a = 0, sgn = 1;        char c;        while(! isdigit(c = getchar()))            if(c == '-')                sgn *= -1;            else if(c == EOF)                exit(0);        while(isdigit(c))            a = a * 10 + c - '0', c = getchar();        return a * sgn;    }    void _print(int a)    {        if(! a)            return;        _print(a / 10);        putchar('0' + a % 10);    }    inline void println(int a)    {        if(a < 0)            putchar('-'), a *= -a;        if(! a)            putchar(0);        _print(a);        putchar('\n');    }}struct disjointSet{    int anc[N + 1];    inline void initialize()    {        memset(anc, -1, sizeof(anc));    }    int access(int u)    {        return ~ anc[u] ? anc[u] = access(anc[u]) : u;    }    void link(int u, int pre)    {        anc[u] = pre;    }}st;struct leftistTrees{    struct node    {        int suc[2], dis, w;    }nd[N + 1];    inline void newNode(int u, int w)    {        nd[u].w = w, nd[u].dis = 0, nd[u].suc[0] = nd[u].suc[1] = -1;    }    inline void modify(int u)    {        newNode(u, nd[u].w >> 1);    }    inline int merge(int pre, int u, int v)    {            if(! (~ u))        {            if(~ v)                st.link(v, pre);                        return v;        }        if(! (~ v))        {            if(~ u)                st.link(u, pre);                        return u;        }        if(nd[u].w < nd[v].w)            std::swap(u, v);        nd[u].suc[1] = merge(u, nd[u].suc[1], v);        if(! (~ nd[u].suc[0]) || nd[nd[u].suc[1]].dis > nd[nd[u].suc[0]].dis)            std::swap(nd[u].suc[0], nd[u].suc[1]);        nd[u].dis = ~ nd[u].suc[1] ? nd[nd[u].suc[1]].dis + 1 : 0;        st.link(u, pre);        return u;    }    inline int pop(int u)    {        return merge(-1, nd[u].suc[0], nd[u].suc[1]);    }    inline int get(int u)    {        return nd[u].w;    }}hp;int main(){    #ifndef ONLINE_JUDGE    freopen("HDU1512.in", "r", stdin);    freopen("HDU1512.out", "w", stdout);    #endif    using namespace Zeonfai;    while(int n = getInt())    {        for(int i = 1; i <= n; ++ i)            hp.newNode(i, getInt());            int m = getInt();        st.initialize();            for(int i = 0; i < m; ++ i)        {            int u = getInt(), v = getInt(), rtU = st.access(u), rtV = st.access(v);                if(rtU == rtV)            {                puts("-1");                continue;            }                int nwRtU = hp.pop(rtU), nwRtV = hp.pop(rtV);            hp.modify(rtU), hp.modify(rtV);            rtU = hp.merge(-1, nwRtU, rtU), rtV = hp.merge(-1, nwRtV, rtV);            int rt = hp.merge(-1, rtU, rtV);            println(hp.get(rt));        }    }}
        
       
      
     
    

非旋转treap

定义

treap即是tree + heap. 不懂的可以先学习普通treap.

非旋转treap的特别之处在于, 它的操作不依赖于旋转, 而使用类似于左偏树的合并的方式来实现.

操作

首先是一些基本的操作:

合并

给定两棵treap的根节点, 将它们合并起来. 注意这里要求其中一棵treap的任意元素都比另一棵的任意元素小. 实现: 首先把优先级高的一个根节点作为当前节点, 假如另一棵treap比当前点小, 则将其与当前点的左儿子合并, 否则和右儿子合并. 是不是和左偏树的合并非常类似?

分裂

对于一棵以u为根的treap, 将其权值前\(k\)小与剩下部分切开成 两棵 treap并且将其根节点返回. 令sz为根节点节点的左子节点的大小分三种情况讨论:

• \(sz = k\), 则直接断开左儿子, 返回左儿子和当前节点即可;
• \(sz > k\), 同样地断开左儿子, 递归左子树, 得到的结果假设为\((first, second)\), 合并\(u\)和\(second\)作为第二关键字返回即可.
• \(sz < k\), 断开右儿子, 递归右子树, 得到的结果假设为\((first, second)\), 将\(u\)与\(first\)合并作为第一关键字返回即可.

余下的操作都是基于以上的merge和split.

插入

直接merge上去即可.

删除 / 查询

假设要删除第\(L\)到第\(R\)个点, 则先split(R), 再对返回的\(first\)进行\(split(L)\)得到的second即是\([L, R]\)区间.

时间复杂度

显然的\(O(n \log n)\)

代码

只写了merge和split, 而且正确性无法保证.

#include 
    
     #include 
     
      struct treap{    struct node    {        int w, fix, sz;        node* suc[2];    };        node* rt;        node* merge(node *u, node *v)    {        if(u == NULL)            return v;        if(v == NULL)            return u;        if(u->fix < v->fix)            std::swap(u, v);        u->suc[v->w > u->w] = merge(u->suc[v->w > u->w], v);        return u;    }        std::pair
      
        split(node *u, int k)    {        int tmp = u->suc[0] == NULL ? 0 : u->suc[0]->sz;        if(tmp == k)        {            u->suc[0] = NULL;            return std::make_pair(u->suc[0], u);        }        else if(tmp > k)        {            std::pair
       
         res = split(u->suc[0], k);            u->suc[0] = NULL;            return std::make_pair(res.first(), merge(res.second, u));        }        else if(tmp < k)        {            std::pair
        
          res = split(u->suc[1], k - tmp - 1);            u->suc[1] = NULL;            return std::make_pair(merge(res.first, u), res.second);        }    }}int main(){    using namespace Zeonfai;    int n = getInt();    for(int i = 0; i < n; ++ i)    {        int opt = getInt();        if(opt == 1)            }}
        
       
      
     
    

就这样吧.